Основы строительной механики плоских систем: Статически определимые системы. Статически неопределимые системы

Общие теоремы строительной механики 233 Для получения с помощью теоремы взаимности дополнительных урав- ненн.1 можно применить правило, данное па стр. 201 (пункте'), если в нем вместо слов „лишних стержней" читать ,снл, заменяющих лишние связи" Например для статически неопределимой системы, показанной на черт. 130а, теорема взаимности, примененная к действительному со­ стоянию равновесия (черт. 130с) и по очереди к каждому из трех фик­ тивных состояний (черт. 133 й, ь, с), дает следующие уравнения = ^''хуЛ- ^ ' ' г у Т ^ Р ' ' р у = ^ > (21) + z s , , - V = 0. j где все перемеще1Н1я . ,, козфициенты при x, К, z, имеют уже известные значения, а суммы ^ 2] означают работу сил Я„ P j на перемеще|шях соответственно 1, 2 и 3 фиктивного состояния равновесия. Легко убедиться в тождественности этих уравнений и уравнения (14). В самом деле козфициенты при x, у, z в обоих случаях одинаковы КЗ основании формул (15) или на основании той же теоремы взаимности. Остается убедиться в тождественности свободных членов, для чего при­ меним эту теорему к состоянию равновесия по черт. 133rf и по оче­ реди к каждому из 3 фиктивных состояний равновесия (черт. 133 а, й, с). Патучим равенства: V . о . 5 = 1 . 3 ^ZP-\py=\-\yp v p . 3 ^ , = l .8,^, и желаемое доказано. В уравнениях (21) и (14) по доказанному все члены соответственно равны, но значение этих членов различно. В уравнениях (14) каждый член означает деформацию или перемещение, вызванное одной из сил действительного состояния равновесия, а в уравнении (21) тот'же член означает р а б о т у той же силы на перемещениях, взятых из соответ­ ствующего фиктивного состояния равновесия. В качестве другого примера получим с помощью теоремы взаимности для двух смеж1Н>1Х пролетов 1„, неразрезной балки дополнительное уравнение, определяющее одну лишнюю неизвестную, пли так называемое уравнение трех моментов (§ 21). Чтобы обратить данную двухпролетную неразрезную балку в стати­ чески определимую систему, поставим над опорой т ппф.чир (черт. 135с) и полученные две балки, соединенные шарниром и лежащие на трех опорах, будем рассматривать как основную систему. Силами, заменяющими дей­ ствие отброшенной связи между пролетами /„, будут при данных внешних силах две пары М„, приложенные по обе стороны шар­ нира т. Соответствующее фиктивное состояние равновесия показано па черт. 1356. Применяя теорему взаимности, получим согласно чертежа ®га-1 + ®ли-1 •- V]р ' ^ ' — Q. (22)