Основы строительной механики плоских систем: Статически определимые системы. Статически неопределимые системы

Общие теоремы строительной механики 231 шей главе, и теореме Кастнлиано. Обе эти теоремы, к доказательству которых мы переходим, являются следствиями основного уравнения (8). 4. Теорема взаимности или Бетти. Применение к составлению дополнительных уравнений, В § И эта теорема была доказана применительно к шарнирным фермам. Для доказательства в обшем случае воспользуемся уравнением (10) Предварительно заметим, что это уравнение остается справедливым и тогда, когда за основную взята сама данная система. В таком случае величины М\ Q, Q', N, iV попрежнему будут функциями всех дан­ ных а!л и всех сил, заменя сщих все лишние связи, но в первую сумму LPo войдут только данные внешние си ы Р. На том же основании можно взять за ословную такую стати ески неопределимую систему, ко­ торая получится из данной, если в ней отбросить не все лишние связи — тогда в сумму LPo', кроме сил Р, войдут и силы, заменяющие отбро­ шенные связи. В уравнении (10) приравнена нулю работа внешних сил Р и внутрен­ них Л1, Q, iV первого состояния равновесия на соответствующих пере­ мещениях с' и деформациях М' Q' ЛГ . •=Г7 ds, —— ds, -^ds, EJ Oso) £(u взятых из второго состояния равновесия, когда на данную систему деЯ ствуют внешние силы Р', вызываюи1ие в том же сечении внутренние силы М', Q', Л/'. Очевидно будет равна нулю и работа внешних сил Я' и внутренних М', Q', /V на перемещениях о, соответствующих силам Р, и деформа­ циях, ds, -— ds, -^ds, EJ ила Em взятых из первого состояния. Поэтому на основании того же равенства полу.. < М'М , Q'Q . ЛГМ v « - J Р , I ^ + - ^ - U 5 = 0. (19) EJ Сам ' Еш J Сравнивая два равенства (10) и (17), замечаем, что под знаком J" находится в обоих случаях одна и та же функция и что оба интеграла распространены на одни и те же элементы ds. Отсюда следует, чго эти интегралы равны и поэтому 2 P B ' = 2:P'S. ,(20)