Основы строительной механики плоских систем: Статически определимые системы. Статически неопределимые системы

200 Статически неопределимые шарнирные фермы Предположим наконец, что те же расстояния увеличил11Сь в деП- ствительном состоянии равновесия (черт. 105а) опять-таки по сравнению с ненагруженным состоянием на величины • где величины 1„ 1^, имеют прежние значения (см. стр. 169). Все эти предположения относительно направления деформаций про­ извольны и могут быть 1аменены обратными без влияния на окончатель­ ный результат. Применим теперь теорему взаимности 2 раза — по числу лишних не­ известных или фиктивных состояний — причем в левой части равенства будем писать работу внешних сил действительного состояния равновесия (сил Р,, Р^, P j , Я,, X, X, У, Y) на перемещениях, взятых из фиктив­ ного состояния, а в правой работу внешних сил того же фиктивного состояния на действительных перемещениях. Получим ^ ^хх ^^ух ~ ^ \ /334 V - ^ 8 ^ _ к а ; = - 1 . гЛ Суммы Е в уравнениях (33) распространяются на внешние силы Р н состоят, следовательно, из 4 слагаемых каждая. В уравнениях (33) каж­ дый член означает работу некоторой определенно направленной внешней силы одного состояния на ,соответствуюи1ем" перемещении (см. сноску стр. 161), взятом из другого состояния, причем направлением этого пе­ ремещения мы задаемся. Знак -)- или — каждого члена определяется прямым или обратным соответствием силы и перемещения. На основании этого соображения легко проверить знак каждого члена в уравнениях (33). Перемещениям 2, входящим в левые части уравнений (33), присвоено по 2 значка согласно о бще г о правила обозначения перемещений,дан­ ного в § 30. Если лишние стержни — опорные, не дающие осадки, то в уравне­ ниях (33) надо положить К^Оу = 0. Заметим еще, что на основании теоремы взаимности, примененной к двум состояниям равновесия по черт. 1 0 5 i и с, имеем равенство Полученные уравнения (33) служат для определения величин X, Y' •Четко убедиться в тождественности этих уравнений с выведенными ранее (§ 29) уравнениями (24). В самом деле, на основании формулы (15), в которой нужно взять знак — , так как мы имеем обратное соответ­ ствие между обобщенными силами X = l , К = 1 и перемещениями 8^, Ьуу, получим