Исследование систем управления

45 ( ) ( ) 2 J u J u > , но только для некоторой малой окрестности точки 2 u . Такую точку принято называть точкой локального максимума функции ( ) J u . В отличие от нее точку u ∗ называют точкой гло - бального максимума . Всякий глобальный максимум является и локальным , обрат - ное утверждение неверно . Условие (5.2) выполняется также в точ - ках 1 u и 3 u , при этом точка 1 u соответствует локальному миниму - му , а точка 3 u является точкой перегиба функции ( ) J u . Следова - тельно , условие (5.2) выделяет все особые точки , а не только максимумы ( локальные и глобальные ) функции ( ) J u . Для того , чтобы исключить эти точки из рассмотрения , необходимо проана - лизировать знак второй производной функции ( ) J u ′′ . Обратимся к разложению (5.1) в некоторой точке ˆ u такой , что производная в этой точке равна нулю , т . е . ( ) ˆ 0 J u ′ = . Если эта точка является точкой строгого максимума ( глобального или ло - кального ), то в силу того , что ( ) 2 0 u ∆ > при ˆ u u ≠ , требование ( ) ( ) ˆ J u J u > при ˆ u u ≠ в некоторой окрестности точки ˆ u приводит к условию ( ) ˆ 0. J u ′ ≤ (5.3) Это так называемое условие второго порядка является доста - точным условием максимума функции ( ) J u . Достаточным усло - вием для определения минимума функции ( ) J u является следую - щее : ( ) ˆ 0. J u ′ ≥ Более общее утверждение : если существует производная ( ) ( ) ˆ n J u и если ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ˆ ˆ ˆ ... 0 n J u J u J u − ′ ′′ = = = = , то функция ( ) J u имеет в точке ˆ u максимум при n четном и ( ) ( ) ˆ 0 n J u < , минимум