Исследование систем управления

44 существует некоторая точка u ∗ , на которой достигается решение задачи . В классических задачах предполагается , что функция ( ) J u является достаточно гладкой , т . е . она имеет необходимое число производных ( по крайней мере , дважды дифференцируема ). Тогда в окрестности точки u ∗ функцию ( ) J u можно разложить в ряд Тейлора : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 , 2 J u J u J u u J u u u ∗ ∗ ∗ ′ ′ = + ∆ + + θ∆ ∆ (5.1) где u u u ∗ ∆ = − , а величина θ принимает свои значения из диа - пазона 0 1 < θ < . Поскольку ( ) ( ) J u J u ∗ > для всех u u ∗ ≠ или ( ) ( ) J u J u ∗ < , то получаем ( ) 0. J u ∗ ′ = (5.2) Это необходимое условие экстремума функции ( ) J u в ре - шении поставленной задачи , но оно не является достаточным ус - ловием максимума ( или минимума ). Действительно , рассмотрим некоторую функцию ( ) J u , изображенную на рис . 5.1. Рис . 5.1 Кроме точки u ∗ касательная к графику функции ( ) J u , тангенс угла наклона которой совпадает с ( ) J u ′ , горизонтальна и в точках 1 2 3 , , u u u . В точке 2 u функция ( ) J u удовлетворяет условию